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Exercice 4 :

Un exercice de base, assez simple au début, sur une suite de référence...

Au mois de janvier $2000$, le loyer payé par Isidore s'élève à $300$ euros.
Soit $u_n$ le loyer payé (en euros) au bout de $n$ mois. Ainsi, $u_0=300$.
On suppose que, pour tout naturel $n$, on a: $u_n=300× 1,002^n$.
1.a. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
1.b. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.c. De combien, en pourcentage, augmente le loyer chaque mois.
1.d. Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
2.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>400$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.
3. Combien Isidore a-t-il dépensé en loyers du premier janvier $2000$ au $31$ décembre $2013$ ?

Corrigé

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_n=300× 1,002^n$.
On reconnait ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d'une suite géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$.

1.b. Par conséquent, Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=1,002×u_n$.

1.c. Le coefficient multiplicateur est $1,002=1+\frac{0,2}{100}$, et par là, le loyer augmente chaque mois de 0,2%.

1.d. Comme $1<1,002$, alors $(1,002^n)$ est strictement croissante.
Et comme $300>0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.
Par ailleurs:
Comme 1,002>1, on a: $\lim\limits_{n→+∞}(1,002^n)=+∞$.
Or $300>0$. Donc $\lim\limits_{n→+∞}(u_n)=+∞$.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.
A la fin de chacun d'eux, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

N ← 0
U ← $300$
Tant que U$≤400$
   U ← U$× 1,002$
   N ← N+1
Fin du Tant que

Le second utilise
la formule explicite.

N ← 0
Tant que $300× 1,002^N≤400$
   N ← N+1
Fin du Tant que

2.b. Exemples de programmes utilisant la formule de récurrence.
La dernière ligne de ces programmes (qui n'apparaît pas dans les algorithmes précédents) permet d'afficher la valeur finale de N.

programmes en BASIC

Pour une Casio:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
$300→U$
While $U≤400$
$U× 1,002→U$
$N+1→N$
End
Disp N

programme en PYTHON

 
# Programme pour calculer quand le loyer dépasse 400€

# Méthode alternative avec formule de récurrence
def calcul_n0_():
    nN = 0
u = 300
while u <= 400:
    u = u * 1.002
    nN = nN + 1
    return n

# Calcul de la somme totale des loyers sur 14 ans
def calcul_somme_loyers():
    somme = 0
    for n in range(168):  # 14 ans = 168 mois
        somme += 300 * (1.002 ** n)
    return somme

# Exécution des calculs
n0 = calcul_n0()
somme_totale = calcul_somme_loyers()

    
# Affichage des résultats
print(f"Le loyer dépasse 400€ aprèsaprès", {n0}N ,"mois")
print(f"Vérification avec méthode alternative: {calcul_n0_alternative()} mois")
print(f"Total des loyers sur 14 ans: {somme_totale:.2f} €")

# Version avec formule mathématique pour la somme
q = 1.002
somme_formule = 300 * (1 - q**168) / (1 - q)
print(f"Calcul par formule mathématique: {somme_formule:.2f} €")

Les trois programmes donnent une valeur de N$N$ égale à 144.

3.
Le mois de janvier 2000 correspond à $n=0$.
Le mois de décembre 2000 correspond à $n=11$.
Le mois de décembre 2001 correspond à $n=11+1×12=23$.
Le mois de décembre 2013 correspond à $n=11+13×12=167$.
On cherche donc la somme $S=u_0+u_1+u_2+...+u_{167}$.
Comme $(u_n)$ est géométrique de raison 1,002 de premier terme $u_0=300$, on a:
$S=300+300×1,002+300×1,002^2+...+300×1,002^{167}$
$S=300× \frac{1-1,002^{167+1}}{1-1,002}=300× \frac{1-1,002^{168}}{-0,002}≈59,830,43$.
Pendant les 14 ans considérés, Isidore a dépensé $59,59 830,43$ euros en loyers.

# Calcul de la somme totale des loyers sur 14 ans
somme = 0
for n in range(168):  # 14 ans = 168 mois
    somme = somme  + 300 * (1.002 ** n)


# Affichage des résultats
print("Total des loyers sur 14 ans: " , somme , " €")

# Version avec formule mathématique pour la somme
q = 1.002
somme = 300 * (1 - q**168) / (1 - q)


# Affichage des résultats
print("Total des loyers sur 14 ans: " , somme , " €")

A retenir: pour calculer la somme de termes d'une suite géométrique, il faut utiliser la formule: $1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (pour tout réel $q$ (avec $q≠1$)).

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