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Exercice 3 Un exercice de base, assez simple, sur une suite de référence... Un objet valant $1,000$ euros décote de 5% par an. Soit $u_n$ la valeur de l'objet (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_0=1,000$. 1.a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ po...

flowchart TD A[Christmas] -->|Get money| B(Go shopping) B --> C{Let me think} C -->|One| D[Laptop] C -->|Two| E[iPhone] C -->|Three| F[fa:fa-car Car] flowchart LR A --> R1 A --> B1 R1 --> RR R1 --> RB B1 --> BR B1 ...

Un exercice répétitif pour apprendre les opérations sur les limites de suites. Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_n=-2n^3+8$ pour tout naturel $n$. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}b_n$. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=-4n^2-\sqrt{n}+11$ pour tout na...

Un exercice de base, assez simple au début, sur une suite de référence... Au mois de janvier $2000$, le loyer payé par Isidore s'élève à $300$ euros. Soit $u_n$ le loyer payé (en euros) au bout de $n$ mois. Ainsi, $u_0=300$. On suppose que, pour tout naturel $...

Exercice 2 Un exercice de révision de notions vues en première... Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=\frac{n}{n+2}$ pour tout naturel $n$. Question 1. Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante de 3 façons différentes. En déterminant le signe de $w_{...

Limites de fonctions I Limites en $+\infty$ ou en $-\infty$ Limite infinie en $+\infty$ ou en $-\infty$ La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ lorsque tout intervalle du type $] A ;+\infty[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(...

Exercices corrigés Exercice 1 Un exercice graphique à savoir faire absolument. Conjecturer la valeur de $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$. Conjecturer la valeur chacune des limites suivantes, et donner, s'il y a lieu, l'équation réduite de l'asymptote assoc...

Dérivation Un conseil : revoir le cours sur la dérivation de la classe de première ! I Dérivées et sens de variation a. Composées Composée Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble A. Soit $v$ une fonction définie sur un ensemble B . On suppose de plus que...

Exercices corrigés Exercice 1 On pose : $u(x)=\frac{1}{x}+3$, définie sur $] 0 ;+\infty[$. On pose: $v(x)=(x-2)^{2}+5$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que la composée vou existe et est définie sur $] 0 ;+\infty[$. Déterminer l'expression de $\operatorname{...

Continuité I Fonctions continues Définition Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$. $f$ est continue sur I si et seulement si $f$ est continue en tout n...

Exercices corrigés Exercice 1 Montrer que, si $x \geq 0$, alors $2 e^{2 x+1}-1>0$. Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 1] \operatorname{par} f(x)=e^{2 x+1}-x$. Montrer que l'équation $f(x)=10$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[0 ; 1]$. 3. Compléter...

Fonction logarithme népérien Définition et propriété La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ] $0 ;+\infty$ [ qui, à tout réel strictement positif $b$ associe l'unique solution de l'équation $e^{x}=b$. Ainsi, pour tout réel $b$ s...

Exercices corrigés Exercice 1 Soit $h$ définie sur $] 0 ;+\infty[\operatorname{par} h(x)=x \ln x+3 x$. Le point $\mathrm{A}(2 \mathrm{e} ; 9 \mathrm{e})$ est-il sur la tangente $t$ à $\mathrm{C}_{h}$ en e ? Corrigé Dérivons $h(x)$ On pose $u=x$ et $v=\ln x$. D...

Fonctions sinus et cosinus Quelques rappels de première. Pour tout réel $x$ : $-1 \leq \cos x \leq 1$ $-1 \leq \sin x \leq 1$ $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$ $\cos (-x)=\cos x$ $\sin (-x)=-\sin x$ $\cos (\pi-x)=-\cos x$ $\sin (\pi-x)=\sin x$ $\cos (\pi+x)=-\cos x...

Exercices corrigés Exercice 1 Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation (1): $2 \sin (3 x)-1=0$. Résoudre sur $]-\pi ; \pi]$ l'équation (2) : $\cos ^{2}(2 x)-0,5=0$. Résoudre sur $]-\pi ; \pi]$ l'inéquation (3) : $2 \sin x-\sqrt{3}<0$. 4.a. Montrer que $\frac{1}{2...

Primitives et équations différentielles Définition Résoudre l' équation différentielle $y^{\prime}=f$ sur l'intervalle I, c'est déterminer toutes les fonctions $y$ dont la dérivée vaut $f$ sur I. Une fonction solution de l'équation différentielle $y^{\prime}=f...

Exercices corrigés Exercice 1 La fonction $f$ est continue et dérivable sur $] 0 ; 5,5[$. Elle est représentée ci-dessous, ainsi que sa dérivée $f^{\prime}$, et l'une de ses primitives $F$. Associer à chaque courbe sa fonction. Corrigé Nous allons utiliser le...

8 Intégrales I/ Cas des fonctions continues et positives I.a/ Intégrales et aires Définition Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ; b]$. Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (les axes sont perpendicula...

Exercices corrigés Exercice 1 Soit $f$ de courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal. Soit : $A=\int_{1}^{3} f(t) d t$. Déterminer graphiquement quel encadrement est correct : $1 \leq A \leq 2$ $2 \leq A \leq 3$ $3 \leq A \leq 4$ Corrigé $f$ est cl...

Vecteurs, droites et plans de l'espace I Droites et plans de l'espace Remarque : quelques mises au point pour commencer avant de manipuler les vecteurs de l'espace... Propriété Deux droites de l'espace sont : soit coplanaires (dans un même plan), soit non co...