Cours : Continuité

Continuité

I Fonctions continues

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$. $f$ est continue sur I si et seulement si $f$ est continue en tout nombre $a$ de I . Graphiquement, une fonction est continue quand le tracé de sa courbe représentative peut se faire sans lever le crayon.

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I. Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable sur I, alors $f$ est continue sur I.

Définition et propriété

Les fonctions polynômes, la fonction valeur absolue, la fonction racine carrée, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, les fonctions cosinus et sinus constituent les fonctions usuelles. Les fonctions usuelles, ainsi que les fonctions obtenues par opérations ou par composition usant de fonctions usuelles, sont continues sur les intervalles sur lesquels elles sont définies.

II Suites composées

Propriété

Si $f$ est une fonction continue en $l$, et si $\lim {n \rightarrow+\infty} u{n}=l$, alors la suite composée $f(u n)$ converge vers $f(l)$.

Chapitre 4

Savoir faire

La propriété précédente permet de trouver la limite d'une suite définie par récurrence, dès lors qu'on est assuré de son existence. Ainsi, si $\lim {n \rightarrow+\infty} u{n}=l$, si $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$, et si $f$ est continue, alors $l$ est solution de l'équation $l=f(l)$.

III Équations $f(x)=k$

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur $[a ; b]$, Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $[a ; b]$.

Propriété

Par convention, dans un tableau de variation, les flèches indiquent évidemment que la fonction est strictement monotone, mais aussi qu'elle est continue.

Théorème de la bijection

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a ; b]$, Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $[a ; b]$.

Généralisation

Les théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection s'étendent naturellement à des intervalles semi-ouverts ou ouverts, bornés ou non.

À quoi peut servir le théorème de la bijection? On est parfois confronté à des équations difficiles à résoudre algébriquement. Il est alors tentant de lancer un programme qui permettra d'encadrer la solution recherchée. Mais encore faut-il qu'elle existe, et qu'elle soit unique sur l'intervalle d'étude ! Par application du théorème de la bijection, on est assuré que le programme nous donnera un résultat satisfaisant.