Cours : Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Définition

L'espace est muni d'un repère ( $O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ ). La droite $d$ passant par le point $A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$ admet pour représentation paramétrique le système $\left{\begin{array}{l}x=x_{A}+t a \ y=y_{A}+t b \ z=z_{A}+t c\end{array}\right.$ où $t$ est le paramètre de cette représentation.

Remarque : l'orthonormalité du repère n'est pas nécessaire.

La définition qui suit n'étant pas explicitement au programme, elle est souvent rappelée dans les exercices.

Définition

L'espace est muni d'un repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$. Le plan P passant par le point $A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$ et $\vec{v}\left(\mathrm{a}^{\prime} ; \mathrm{b}^{\prime} ; \mathrm{c}^{\prime}\right)$ admet pour représentation paramétrique le système $\left{\begin{array}{l}x=x_{A}+t a+t^{\prime} a^{\prime} \ y=y_{A}+t b+t^{\prime} b^{\prime} \ z=z_{A}+t c+t^{\prime} c^{\prime}\end{array}\right.$ où $t$ et $t^{\prime}$ sont les paramètres de cette représentation.

Remarque : l'orthonormalité du repère n'est pas nécessaire.

Définition et propriété

L'espace est muni d'un repère orthonormal. Si le plan P a pour vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$, alors il admet une équation cartésienne de la forme $a x+b y+c z+d=0$, où $d$ est un réel. Réciproquement, si $a, b, c$ et $d$ sont 4 réels avec $a, b$ et $c$ non tous nuls, alors l'ensemble des points d'équation $a x+b y+c z+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$.

Remarque : l'orthonormalité du repère est absolument nécessaire.