Cours : Fonctions sinus et cosinus

Fonctions sinus et cosinus

Quelques rappels de première.

Pour tout réel $x$ :

$-1 \leq \cos x \leq 1$

$-1 \leq \sin x \leq 1$

$\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$

$\cos (-x)=\cos x$

$\sin (-x)=-\sin x$

$\cos (\pi-x)=-\cos x$

$\sin (\pi-x)=\sin x$

$\cos (\pi+x)=-\cos x$

$\sin (\pi+x)=-\sin x$

$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$

$\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$

Pour tout $k$ entier relatif

$\sin (x+2 k \pi)=\sin x$

$\cos (x+2 k \pi)=\cos x$

Et voici le cours de terminale.

Définition

• La fonction sinus est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui, à tout réel $x$ associe $\sin x$.
• La fonction cosinus est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui, à tout réel $x$ associe $\cos x$.

Propriétés

La fonction $\sin x$ admet pour dérivée $\cos x$ sur $\mathbb{R}$. Ainsi : $\boxed{(\sin x)^{\prime}=\cos x}$.

La fonction $\cos x$ admet pour dérivée $-\sin x$ sur $\mathbb{R}$. Ainsi : $\boxed{ (\cos x)^{\prime}=-\sin x}$.

Propriétés

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$.

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2 \pi$ sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, pour tout $x$ réel et tout $k$ entier relatif, on a :

$$ \sin (x+2 k \pi)=\sin x \quad \text { et } \quad \cos (x+2 k \pi)=\cos x . $$

Et par là, dans un repère ( $O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}$ ), les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par toute translation de vecteur $k 2 \pi \vec{\imath}$.

La fonction sinus est impaire sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, pour tout $x$ réel, $\sin (-x)=-\sin x$. Et par là, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine. La fonction cosinus est paire sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, pour tout $x$ réel, $\cos (-x)=\cos x$. Et par là, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de variation ci-dessous.

$x$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
	1
$\cos (x)$		0
			-1

$x$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin (x)$		$\pi^{1}$
	0

Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de signes ci-dessous.

$x$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos (x)$	+0	-

$x$	0	$\pi$
$\sin (x)$	$0+\phi$

Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de valeurs ci-dessous.

$x$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin x$	0	0,5	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos x$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0,5	0

Ces tableaux de valeurs s'étendent à $[0 ; \pi]$ en utilisant les angles associés, qui fournissent les égalités : $\sin (\pi-x)=\sin (x)$ et $\cos (\pi-x)=-\cos (x)$.

On obtient chacune des courbes qui suivent à partir d'un tracé sur $[0 ; \pi]$, étendu par symétrie sur $[-\pi ; \pi]$, et répété à l'infini par translations successives. Ces courbes s'appellent des sinusoïdes.

Limite de référence

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$