Cours : Concentration, loi des grands nombres

Concentration, loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu(m u)$ et de variance $V(X)$. Si $\delta$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a :

$$ p(|X-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^{2}} . $$

Inégalité de concentration

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu(m u)$ et de variance $V(X)$. Soit ( $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ ) un échantillon de la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Soit la moyenne : $M_{n}=\frac{S_{n}}{n}$. Si $\delta$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a :

$$ p\left(\left|M_{n}-\mu\right| \geq \delta\right) \leq \frac{V(X)}{n \delta^{2}} $$

Par passage à la limite dans l'inégalité de concentration, on obtient la propriété qui suit...

Loi faible des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu(m u)$ et de variance $V(X)$. Soit ( $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ ) un échantillon de la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Soit la moyenne : $M_{n}=\frac{S_{n}}{n}$. Si $\delta$ (delta) est un réel strictement positif, alors on a :

$$ \lim {n \rightarrow+\infty} p\left(\left|M{n}-\mu\right| \geq \delta\right)=0 $$