Cours : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Un conseil : revoir le cours sur les probabilités conditionnelles de première !

I Succession d'épreuves indépendantes

Définition

n épreuves successives sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.

Propriété

On considère une succession de $n$ épreuves indépendantes. Pour toute liste ( $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ ) d'événements concernant les $n$ épreuves successives, on a : $p\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n}\right)=p\left(A_{1}\right) \times p\left(A_{2}\right) \times \ldots \times p\left(A_{n}\right)$. Une telle succession peut se représenter par un arbre de probabilité.

II Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience ayant 2 issues, appelées succès et échec telle que la probabilité de succès vaut $p$. La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire $X$ qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ de la façon suivante : $p(X=1)=p($ «succès» $)=p \quad p(X=0)=p($ «échec» $)=1-p$.

Définition

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est l'expérience consistant à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. Un schéma de Bernoulli se représente à l'aide d'un arbre pondéré :

• où les noeuds ont chacun 2 branches
• et où les mêmes probabilités p et $1-p$ sont répétées sur les couples de branches.

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On la note : $B(n, p)$.

Propriété

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k \in \mathbb{N}$ avec $0 \leq k \leq n$. Le nombre de chemins réalisant $k$ succès pour $n$ répétitions sur l'arbre d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ se note $\binom{n}{k}$. C'est le nombre de combinaisons de $k$ objets parmi $n$; on l'appelle aussi coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (et on dit «k parmi $n$ »). Par convention : $\binom{0}{0}=1$ Les coefficients binomiaux sont étudiés de façon plus approfondie dans le chapitre Combinatoire et dénombrement.

On obtient directement les coefficients binomiaux avec les calculatrices : Casio: OPTN PROB n nCr k TI : MATH PRB n Combinaison k

Expression de la loi binomiale

Si $X=B(n, p)$, et $0 \leq k \leq n$, alors $p(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$. En pratique, on obtient directement les valeurs de $p(X=k)$ avec les calculatrices : Casio : STAT DIST BinomialPD ( $k, n, p$ ) TI : 2nd distrib binomFdp( $n, p, k$ )

De même pour les valeurs de $p(X \leq k)$ : Casio : STAT DIST BinomialCD ( $k, n, p$ ) TI : 2nd distrib binomFrép ( $n, p, k$ )