Cours : Primitives et équations différentielles

Primitives et équations différentielles

Définition

Résoudre l' équation différentielle $y^{\prime}=f$ sur l'intervalle I, c'est déterminer toutes les fonctions $y$ dont la dérivée vaut $f$ sur I. Une fonction solution de l'équation différentielle $y^{\prime}=f$ s'appelle une primitive de $f$ sur I. Une primitive de $f$ se note souvent $F$.

À retenir!

Pour montrer que $g$ est une primitive de $f$, il suffit de montrer que $g^{\prime}=f$.

Propriété

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle I admet une primitive F sur I.

Propriété

Soit F une primitive de $f$ sur un intervalle I. Si $G=F+c$, où $c$ est une constante, alors $G$ est aussi une primitive de $f$. Toute primitive de $f$ sur I est de la forme $F+c$, où $c$ est une constante.

Primitives usuelles

Sur des intervalles convenables :

• une primitive de $f(x)=k$ (où $k$ est un nombre réel) est $F(x)=k x$,
• une primitive de $f(x)=x$ est $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$,
• une primitive de $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ est $F(x)=\frac{-1}{x}$,
• une primitive de $f(x)=x^{n}$ est $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (où $n$ est un entier différent de 0 et de -1), une primitive de $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ est $F(x)=2 \sqrt{x}$,
• une primitive de $f(x)=e^{x}$ est $F(x)=e^{x}$,
• une primitive de $f(x)=\frac{1}{x}$ est $F(x)=\ln x$,
• une primitive de $f(x)=\cos x$ est $F(x)=\sin x$,
• une primitive de $f(x)=\sin x$ est $F(x)=-\cos x$,
• une primitive de $f(x)=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right)$ est $F=v o u$.

Primitives particulières

Sur des intervalles convenables :

• une primitive de $f(x)=u^{\prime} u^{n}$ est $F(x)=\frac{1}{n+1} u^{n+1}$ (où $n$ est un entier différent de 0 et de -1 ),
• une primitive de $f(x)=u^{\prime} e^{u}$ est $F(x)=e^{u}$,
• une primitive de $f(x)=\frac{u^{\prime}}{u}$ est $F(x)=\ln u$,
• une primitive de $f(x)=\frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ est $F(x)=\frac{-1}{u}$,
• une primitive de $f(x)=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}$ est $F(x)=2 \sqrt{u}$.

Primitives d'une somme et d'un produit par un nombre réel

Sur un intervalle I, si $u$ et $v$ ont pour primitives respectives U et V , et si $k$ est un nombre réel, alors $u+v$ a pour primitive $U+V$ et $k u$ a pour primitive $k U$.

À quoi servent les primitives ?

Elles sont la base du calcul intégral (voir chapitre intitulé Intégrales). Elles permettent de résoudre certaines équations différentielles.

Équation différentielle $y^{\prime}=a y$

Soit $a$ un réel fixé. L'équation différentielle $y^{\prime}=a y$ sur $\mathbb{R}$ admet pour solutions les fonctions $f_{k}$ définies par : $f_{k}(x)=k \cdot e^{a x}$ (où $k$ est un réel), et ce sont les seules solutions.

Équation différentielle $y^{\prime}=a y+h$

Soit $a$ un réel fixé. Soit $h$ une fonction donnée. Les solutions de l'équation différentielle $y^{\prime}=a y+h$ sur $\mathbb{R}$ s'obtienne en déterminant une solution particulière de cette équation, et en lui ajoutant les solutions de l'équation différentielle $y^{\prime}=a y$.

Un cas particulier de la propriété précédente est la propriété suivante.

Équation différentielle $y^{\prime}=a y+b$

Soit $a$ un réel fixé non nul. Soit $b$ un réel fixé. L'équation différentielle $y^{\prime}=a y+b$ sur $\mathbb{R}$ admet pour solution particulière la fonction $f$ définie par : $f(x)=-\frac{b}{a}$. L'équation différentielle $y^{\prime}=a y+b$ sur $\mathbb{R}$ admet pour solutions les fonctions $f_{k}$ définies par : $f_{k}(x)=k \cdot e^{a x}-\frac{b}{a}$ (où $k$ est un réel), et ce sont les seules solutions.

À quoi servent les équations différentielles ?

Elles sont la base de la plupart des modèles utilisés en physique, qui, sans elles, n'existerait pas...