Exercice 1:

Un exercice répétitif pour apprendre les opérations sur les limites de suites.

1. Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_n=-2n^3+8$ pour tout naturel $n$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}b_n$.

2. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=-4n^2-\sqrt{n}+11$ pour tout naturel $n$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}u_n$.

3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=\frac{9-\frac{2}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}$ pour tout naturel $n\geq 2$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}v_n$.

4. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=\frac{1-0.98^n}{1-n^2}$ pour tout naturel $n\geq 2$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}r_n$.

5. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=-n^3+3n^2-2n$ pour tout naturel $n$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}w_n$.

6. Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n=\frac{n+9}{-n+7}$ pour tout naturel $n\geq 8$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}t_n$.

7. Soit $(p_n)$ la suite définie par $p_n=\frac{8n^2-n+1}{n+2}$ pour tout naturel $n$.
   Déterminer $\lim_{n\to+\infty}p_n$.

Corrigé

Méthode: déterminer la limite de chacun des composants de la suite, puis en déduire la limite cherchée par application des résultats concernant limites et opérations.

1. $b_n=-2n^3+8$
   $\lim_{n\to+\infty}n^3=+\infty$.
   Par ailleurs: $\lim_{n\to+\infty}-2=-2$. (dans le cadre de la limite d'un produit, cette ligne sera souvent omise par la suite)
   Or $-2<0$. Donc $\lim_{n\to+\infty}-2n^3=-\infty$ (limite d'un produit).
   Par ailleurs $\lim_{n\to+\infty}8=8$.
   On obtient donc finalement $\lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty$ (limite d'une somme).

2. $u_n=-4n^2-\sqrt{n}+11$
   $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$. Or $-4<0$. Donc $\lim_{n\to+\infty}-4n^2=-\infty$ (limite d'un produit).
   Par ailleurs $\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$. Donc $\lim_{n\to+\infty}-\sqrt{n}=-\infty$.
   Enfin $\lim_{n\to+\infty}11=11$.
   On obtient donc finalement $\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$ (limite d'une somme).

3. $v_n=\frac{9-\frac{2}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}$
   $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0$. Or $-\frac{2}{n}=(-2)\times\frac{1}{n}$. Donc $\lim_{n\to+\infty}-\frac{2}{n}=(-2)\times0=0$.
   Par ailleurs $\lim_{n\to+\infty}9=9$.
   Donc $\lim_{n\to+\infty}9-\frac{2}{n}=9-0=9$ (limite d'une somme).
   De même, on a $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}-1=0-1=-1$ (limite d'une somme).
   On obtient donc finalement $\lim_{n\to+\infty}v_n=\frac{9}{-1}=-9$ (limite d'un quotient).

4. $r_n=\frac{1-0.98^n}{1-n^2}$
   $-1<0.98<1$, donc $\lim_{n\to+\infty}(0.98^n)=0$.
   Donc $\lim_{n\to+\infty}(1-0.98^n)=1-0=1$.
   Par ailleurs, comme $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$, on a $\lim_{n\to+\infty}-n^2=-\infty$.
   Et par là: $\lim_{n\to+\infty}1-n^2=-\infty$ (limite d'une somme)
   On obtient donc finalement $\lim_{n\to+\infty}r_n=0$ (limite d'un quotient).

5. $w_n=-n^3+3n^2-2n$
   On obtient facilement $\lim_{n\to+\infty}-n^3=-\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}3n^2=+\infty$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors le terme "dominant" de la somme $w_n$.
   $w_n=n^3(-1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2})$.
   Or $\lim_{n\to+\infty}n^3=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}-1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}=-1+0-0=-1$.
   On obtient donc finalement $\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty$ (limite d'un produit).

6. $t_n=\frac{n+9}{-n+7}$
   On obtient facilement $\lim_{n\to+\infty}n+9=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}-n+7=-\infty$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors les termes "dominants" du quotient $t_n$ et on simplifie.
   $t_n=\frac{n(1+\frac{9}{n})}{n(-1+\frac{7}{n})}=\frac{1+\frac{9}{n}}{-1+\frac{7}{n}}$.
   Or $\lim_{n\to+\infty}1+\frac{9}{n}=1+0=1$ et $\lim_{n\to+\infty}-1+\frac{7}{n}=-1+0=-1$.
   Donc on obtient finalement $\lim_{n\to+\infty}t_n=\frac{1}{-1}=-1$ (limite d'un produit).

7. $p_n=\frac{8n^2-n+1}{n+2}$
   On obtient facilement $\lim_{n\to+\infty}8n^2-n+1=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}n+2=+\infty$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors les termes "dominants" du quotient $p_n$ et on simplifie.
   $p_n=\frac{8n^2-n+1}{n+2}=\frac{n^2(8-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n(1+\frac{2}{n})}=n\frac{8-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}$.
   Or $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{8-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{8-0+0}{1+0}=8$.
   Donc finalement $\lim_{n\to+\infty}p_n=+\infty$ (limite d'un produit).