Série d'exercices : Les Suites
Exercice N° 1 :
Un exercice répétitif pour apprendre les opérations sur les limites de suites.
-
Soit ( $b_{n}$ ) la suite définie par $b_{n}=-2 n^{3}+8$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$. -
Soit ( $u_{n}$ ) la suite définie par $u_{n}=-4 n^{2}-\sqrt{n}+11$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \to+\infty} u_{n}$. -
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie par $v_{n}=\dfrac{9-\dfrac{2}{n}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}-1}$ pour tout naturel $n \geq 2$.
Déterminer $\lim_{n \to+ \infty} v_{n}$. -
Soit $\left(r_{n}\right)$ la suite définie par $r_{n}=\dfrac{1-0,98^{n}}{1-n^{2}}$ pour tout naturel $n \geq 2$.
Déterminer $\lim_{n \to +\infty} r_{n}$. -
Soit ( $w_{n}$ ) la suite définie par $w_{n}=-n^{3}+3 n^{2}-2 n$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \to+\infty} w_{n}$. -
Soit $\left(t_{n}\right)$ la suite définie par $t_{n}=\dfrac{n+9}{-n+7}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à $8$ .
Déterminer $\lim_{n \to +\infty} t_{n}$. -
Soit $\left(p_{n}\right)$ la suite définie par $p_{n}=\dfrac{8 n^{2}-n+1}{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \to+\infty} p_{n}$.
Exercice 2
Un exercice de révision de notions vues en première...
Soit ( $w_{n}$ ) la suite définie par $w_{n}=\dfrac{n}{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Question 1.
Montrons que ( $w_{n}$ ) est strictement croissante de 3 façons différentes.
- En déterminant le signe de $w_{n+1}-w_{n}$ pour tout entier naturel $n$.
- En étudiant le quotient $\dfrac{w_{n}+1}{w_{n}}$ pour tout entier naturel $n$ (il est conseillé de montrer que $\dfrac{w_{n}+1}{w_{n}}=1+\dfrac{2}{n^{2}+3 n}$ ).
4
- En étudiant le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$ pour $x$ positif.
Question 2.
Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} w_{n}$.
Question 3.
La phrase «si une suite est strictement croissante, alors sa limite est $+\infty$ » est-elle vraie?
Exercice 3
Un exercice de base, assez simple, sur une suite de référence...
Un objet valant 1000 euros décote de $5 %$ par an.
Soit $u_{n}$ la valeur de l'objet (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_{0}=1000$.
1.a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ pour tout naturel $n$.
1.b. Qu'en déduire concernant la suite ( $u_{n}$ ) ?
1.c. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
1.d. Donner le sens de variation de ( $u_{n}$ ) ainsi que sa limite.
2.a. Écrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_{0}$ telle que $u_{n_{0}}<500$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice (en Python) et donner la valeur de $n_{0}$ proposée.
Exercice 4
Un exercice de base, assez simple au début, sur une suite de référence...
Au mois de janvier $2000$, le loyer payé par Isidore s'élève à $300$ euros.
Soit $u_{n}$ le loyer payé (en euros) au bout de $n$ mois.
Ainsi, $u_{0}=300$.
On suppose que, pour tout naturel $n$, on a : $u_{n}=300 \times 1,002^{n}$.
1.a. Qu'en déduire concernant la suite ( $u_{n}$ ) ?
1.b. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ pour tout naturel $n$.
1.c. De combien, en pourcentage, augmente le loyer chaque mois.
1.d. Donner le sens de variation de ( $u_{n}$ ) ainsi que sa limite.
2.a. Écrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_{0}$ telle que $u_{n_{0}}>400$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_{0}$ proposée.- Combien Isidore a-t-il dépensé en loyers du premier janvier 2000 au 31 décembre 2013 ?
Exercice 5
Un exercice utilisant les théorèmes de comparaison.
- Soit ( $u_{n}$ ) la suite définie par $u_{n}=n^{3}+\sqrt{n^{2}-n+3}+11$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}$ par comparaison. - Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie par $w_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$ pour tout naturel $n$ non nul.
Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} w_{n}$ en utilisant le théorème des gendarmes. - Montrer que, pour tout naturel $n, n^{2}-n+8>0$.
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie par $v_{n}=\dfrac{2 n^{2}+\cos n}{n^{2}-n+8}$ pour tout naturel $n$.
Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} v_{n}$ en utilisant le théorème des gendarmes.
Exercice 6
Un exercice classique, et facile, utilisant une suite auxiliaire de nature connue pour déterminer la formule explicite de la suite initiale.
Un lac contient 70 centaines de grenouilles hermaphrodites ; elles peuvent changer de sexe au cours de leur vie. La population est supposée stable au cours du temps.
Au début de l'année 2020, le lac contient 7 centaines de mâles, et 63 centaines de femelles.
Chaque année, $20 %$ des mâles deviennent femelles, et de même, $20 %$ des femelles deviennent mâles.
Soit $u_{n}$ le nombre de centaines de mâles au début de l'année $2020+n$. Il est clair que $u_{0}=7$.
1.a. Montrer que $u_{1}=18,2$.
1.b. Montrer que $u_{n+1}=0,6 \times u_{n}+14$ pour tout naturel $n$.- On considère la suite ( $v_{n}$ ) définie, pour tout naturel $n$, par $v_{n}=u_{n}-35$.
Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison 0,6 .
Donner son premier terme. - Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
- Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)$ et conclure.
Exercice 7
Un exercice de bac très court centré sur des algorithmes! La suite ( $u_{n}$ ) est définie par $u_{n}=(-28) \times 0,6^{n}+35$ pour tout entier naturel $n$.
- Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)$.
2.a. On considère l'algorithme suivant :
$U \leftarrow 7$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U>30$
$N \leftarrow \mathrm{~N}+1$
$N \leftarrow-28 \times 0,6^{U}+35$
Fin du Tant que
Corriger l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable N contienne la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle les termes de la suite ( $u_{n}$ ) sont strictement supérieurs à 30 (si cette valeur existe).
2.b. En admettant que l'algorithme fournisse effectivement une valeur de $n$, que suffirait-il de démontrer pour être certain que ce nombre $n$ est bien la valeur cherchée ?
2.c. Démontrer votre proposition.
3.a. En fait, il est certain qu'il existe effectivement une valeur de $n$ à partir de laquelle les termes de la suite ( $u_{n}$ ) sont strictement supérieurs à 30 . Pourquoi ?
3.b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ convenable.- On considère l'algorithme suivant, où la variable $N$ contient un entier naturel $n$ :
$S \leftarrow 0$
Pour $I$ allant de 0 à $N$
$N \leftarrow-28 \times 0,6^{N}+35$
Fin du Pour
Corriger l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable S contienne la valeur de la somme $u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$.
Exercice 8
Un exercice répétitif pour maîtriser le raisonnement par récurrence
- Soit ( $u_{n}$ ) la suite définie par $u_{0}=1$, et par $u_{n+1}=2-\dfrac{3}{4+u_{n}}$ pour tout entier naturel $n$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 1 \leq u_{n} \leq 2$ est vraie. - Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 2^{n} \geq n+1$.
- Soit ( $v_{n}$ ) la suite définie par $v_{0}=7$, et par $v_{n+1}=0,6 v_{n}+14$ pour tout entier naturel $n$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, v_{n}=(-28) \times 0,6^{n}+35$. - Soit ( $w_{n}$ ) la suite définie par $w_{0}=1$, et par $w_{n+1}=\sqrt{w_{n}+2}$ pour tout entier naturel $n$.
Montrer par récurrence que la suite ( $w_{n}$ ) est strictement croissante. - Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Exercice 9
Un exercice de type bac où vous devez faire preuve d'initiative.
Même si vous ne trouvez pas la solution, n'hésitez pas à proposer vos idées...
Soit ( $u_{n}$ ) la suite définie par $u_{0}=1$, et par $u_{n+1}=5 u_{n}+4 n^{2}+2 n+2$ pour tout entier naturel $n$.
Soit ( $v_{n}$ ) la suite définie par $v_{n}=u_{n}+n^{2}+n+1$ pour tout entier naturel $n$.
- Les premiers termes de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont affichés sur la feuille de tableur en page suivante.
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et recopiées vers le bas pour afficher les termes des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ? - Conjecturer une expression de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$ uniquement.
En déduire une conjecture sur l'expression de ( $u_{n}$ ) en fonction de $n$ uniquement.
Démontrer ces 2 conjectures.
| A | B | c | |
|---|---|---|---|
| 1 | n | u | v |
| 2 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 7 | 10 |
| 4 | 2 | 43 | 50 |
| 5 | 3 | 237 | 250 |
| 6 | 4 | 1229 | 1250 |
| 7 | 5 | 6219 | 6250 |
| 8 | 6 | 31207 | 31250 |
| 9 | 7 | 156193 | 156250 |
| 10 | 8 | 781177 | 781250 |
| 11 | 9 | 3906159 | 3906250 |
| 12 | 10 | 19531139 | 19531250 |
Exercice 10
Un exercice de type bac très complet ! Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$\begin{cases} v_0 = 0,\ v_{n+1} = \dfrac{1}{2 - v_n}. \end{cases}$
1.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $0<v_{n}<1$.
1.b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{\left(v_{n}-1\right)^{2}}{2-v_{n}}$.
1.c. Démontrer que la suite ( $v_{n}$ ) est convergente.
2.a. On considère la suite ( $w_{n}$ ) définie, pour tout naturel $n$, par $w_{n}=\dfrac{1}{v_{n}-1}$.
Démontrer que la suite ( $w_{n}$ ) est arithmétique de raison -1 .
2.b. En déduire l'expression de $w_{n}$, puis celle de $v_{n}$ en fonction de $n$.- Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty}\left(v_{n}\right)$.
Exercice 11
Un exercice de type bac parfois subtil !
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{2}+\dfrac{2}{3} x$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{3} ; 0\right]$.
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$, et par $u_{0}=-\dfrac{1}{6}$
- Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\left[-\dfrac{1}{3} ; 0\right]$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0>u_{n}>-\dfrac{1}{3}$.
- Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
- Démontrer que la suite ( $u_{n}$ ) est convergente.
- Soit $l$ la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Par passage à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$, montrer que $l=0$ ou $l=\dfrac{1}{3}$. - En déduire finalement la valeur de $\lim_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)$.
Exercice 12
Un exercice de type bac par moments difficile!
Soit ( $u_{n}$ ) la suite définie pour tout entier naturel $n$ par la relation de récurrence $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+6}{u_{n}+2}$, et par la donnée de $u_{0}$.
1.a. Montrer que, si $u_{0}=-3$ ou $u_{0}=2$, alors la suite ( $u_{n}$ ) est constante.
1.b. Montrer que, si $u_{0} \neq-3$ et $u_{0} \neq 2$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \neq-3$ et $u_{n} \neq 2$.
2.a. Par la suite, on supposera que $u_{0} \neq-3$ et $u_{0} \neq 2$.
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\dfrac{u_{n}+3}{u_{n}-2}$.
Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
2.b. Qu'en déduire concernant la suite ( $v_{n}$ ) ?
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et de $v_{0}$.
2.c. Montrer que $\lim_{n \rightarrow+\infty}\left|v_{n}\right|=+\infty$.
2.d. Montrer que $v_{n} \neq 1$ pour tout naturel $n$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$.
2.e. En déduire la limite de $\left(u_{n}\right)$.- Écrire un algorithme qui permet d'obtenir la valeur de $u_{n}$ pour tout naturel $n$ et toute valeur de $u_{0}$.
Au début de l'algorithme, la variable N contient la valeur de $n$ et la variable U contient la valeur de $u_{0}$.
À la fin de l'algorithme, la variable $U$ contient la valeur de $u_{n}$.
Écrire en Python une fonction de $n$ et de $u_{0}$ retournant la valeur de $u_{n}$.
Exercice 13
Un exercice de type bac très complet!
On considère la suite ( $u_{n}$ ) définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{3 u_{n}}{1+2 u_{n}}$.
1.a. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
1.b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n, 0<u_{n}$.
2.a. On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n}<1$.
Démontrer que la suite ( $u_{n}$ ) est croissante.
2.b. Démontrer que la suite ( $u_{n}$ ) converge.
3.a. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1-u_{n}}$.
Montrer que la suite ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique de raison 3 .
3.b. Exprimer pour tout entier naturel $n, v_{n}$ en fonction de $n$.
3.c. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.
3.d. Déterminer la limite de la suite ( $u_{n}$ ).
Exercice 14
Un exercice de bac sur les suites et les probabilités!
Un joueur effectue une succession de parties.
S'il a gagné une partie, alors la probabilité qu'il gagne la suivante vaut 0,8 .
S'il a perdu une partie, alors la probabilité qu'il gagne la suivante vaut 0,5 .
Soit $G_{n}$ et $P_{n}$ les événements :
$G_{n}$ : «le joueur a gagné la n-ième partie»
$P_{n}$ : «le joueur a perdu la n-ième partie»
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $g_{n}=p\left(G_{n}\right)$.
- Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant.
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $g_{n+1}=0,3 g_{n}+0,5$.
- On suppose que la probabilité que le joueur gagne sa première partie vaut 0,9 .
3.a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $: \dfrac{5}{7} \leq g_{n}$.
3.b. Montrer que la suite $\left(g_{n}\right)$ est décroissante.
3.c. Montrer que la suite $\left(g_{n}\right)$ est convergente.
3.d. Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} g_{n}$. - On suppose que la probabilité que le joueur gagne sa première partie vaut $g$, où $g$ est un réel fixé de l'intervalle $[0 ; 1]$.
On considère la suite auxiliaire ( $v_{n}$ ) définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $v_{n}=g_{n}-\dfrac{5}{7}$
4.a. Montrer que la suite ( $v_{n}$ ) est géométrique.
4.b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a:
$g_{n}=\left(g-\dfrac{5}{7}\right) \times 0,3^{n-1}+\dfrac{5}{7}$.
4.c. Déterminer $\lim_{n \rightarrow+\infty} g_{n}$.
4.d. Interpréter concrètement le résultat obtenu à la question précédente.
Aucun commentaire à afficher
Aucun commentaire à afficher