Limite d'une fonction et asymptote graphiquement

LFTM 2025 - 2026. Prof : CHAIEB Adel

Exercice 1 :

Conjecturer les limites d'une fonctions en \(+\infty\) et \(-\infty\). Asymptotes verticales et horizontales

On considère les fonctions \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\) de courbe respective \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\).

• Conjecturer la limite de chacune de ces fonctions en \(+\infty\) et \(-\infty\) .
• Indiquer les asymptotes eventuelles (verticales et horizontales).

Exercice 2 :

Conjecturer les limites d'une fonctions. Déterminer la limite graphiquement

Dans chaque cas, on a tracé la courbe d'une fonction \(f\).
Déterminer graphiquement la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Exercice 3 :

Déterminer la limite d'une fonction graphiquement en un nombre, en \(+\infty\), en \(-\infty\) et les asymptotes

On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{-2;1\}\).

• Déterminer graphiquement les limites de la fonction \(f\) en un nombre, en \(+\infty\), en \(-\infty\), en \(-2\), et en \(1\) à droite et à gauche.
• Indiquer les asymptotes éventuelles.

Exercice 4 :

Tracer l'allure de la courbe d'une fonction connaissant les limites

Dans chacun des cas suivants, tracer une courbe possible de la fonction \(f\) :

\(\textbf{ a ) } \begin{cases} f \text{ est définie sur } \mathbb{R} \\ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \end{cases}\:\)

\(\textbf{ b ) } \begin{cases} f \text{ est définie sur } \mathbb{R} \setminus \{2\} \\ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \\ \lim_{x \to 2} f(x) = -\infty \end{cases}\:\)

\(\textbf{ c ) } \begin{cases} f \text{ est définie sur } \mathbb{R} \setminus \{-1\} \\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \\ \lim_{\substack{x \to -1 \\ x<-1}} f(x) = +\infty \\ \lim_{\substack{x \to -1 \\ x>-1}} f(x) = -\infty \\ \text{La droite d'équation } y=2 \text{ est asymptote à la courbe de } f \text{ en } +\infty \end{cases}\:\)

Exercice 5 :

Lire les limites d'une fonction et asymptotes à partir du tableau de variation

On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\):

1) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), en \(-3\) à droite et à gauche.
2) Déterminer une équation des éventuelles asymptotes.
3) Tracer une allure possible de la courbe de \(f\).

Exercice 6 :

Conjecturer une limite d'une fonction à l'aide de la calculatrice

Dans chaque cas, conjecturer la limite et les asymptotes éventuelles à l'aide de la calculatrice :

a) \(\lim_{x \to -\infty} x^3-2x^2+1\)

b) \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-1}{x+2}\:\)

c) \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+3}{x^2+1}\:\)

d) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x<1}} \dfrac{1}{1-x}\:\)

e) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x>1}} \dfrac{1}{1-x}\:\)

Exercice 7 :

Déterminer les asymptotes à partir des limites

Que peut-on déduire des limites suivantes concernant les asymptotes horizontales ou verticales ?

a) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3\)

b) \(\lim_{\substack{x \to -3 \\ x>-3}} f(x) = -\infty\)

c) \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\)

d) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\)

Exercice 8 :

Déterminer les limites d'une fonction à partir des asymptotes

Que peut-on déduire des asymptotes suivantes concernant les limites ?

a) La droite d'équation \(x=1\) est asymptote à la courbe de \(f\).

b) La droite d'équation \(y=-2\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).