Résumé de cours : Limites et Asymptotes

Limites de fonctions

Une fonction \(f\) admet une limite finie \(L\) en \(a\) si :\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)

Exemples :

2. Limite infinie en un point

Une fonction \(f\) admet une limite infinie en \(a\) si :
\($\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty\)$

Exemples :

  1. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)
  2. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)
  3. \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty\)
  4. \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty\)

3. Limite en l'infini

4. Formes indéterminées

Les 7 formes indéterminées classiques :

  1. \(\infty - \infty\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 1})\)
  2. \(0 \times \infty\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x)\)
  3. \(\dfrac{\infty}{\infty}\:\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{2x^2 - 3}\:\)
  4. \(\dfrac{0}{0}\:\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\:\)
  5. \(1^\infty\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e\)
  6. \(0^0\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to 0^+} x^x = 1\)
  7. \(\infty^0\)
    • Exemple : \(\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1\)

5. Exercices d'application

Exercice 1 : Calculer les limites suivantes

  1. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\:\)
  2. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4}\:\)
  3. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}\:\)
  4. \(\lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \tan(x)\)

Exercice 2 : Déterminer la nature des limites

Classer les limites suivantes en : limite finie, limite infinie, ou forme indéterminée.

  1. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}\:\)
  2. \(\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x})\)
  3. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x}\:\)
  4. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}\:\)

Exercice 3 : Limites avec paramètres

Soit \(f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + 1}{x - 1}\).

  1. Pour quelle valeur de \(a\) et \(b\) a-t-on \(\lim_{x \to 1} f(x) = 3\) ?
  2. Pour quelle valeur de \(a\) a-t-on \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) ?

6. Théorèmes importants

Théorème des gendarmes

Si pour \(x\) au voisinage de \(a\) :
\($g(x) \leq f(x) \leq h(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)\( Alors\)\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Exemple : \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\)

Limites et continuité

Si \(f\) est continue en \(a\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Composition des limites

Si \(\lim_{x \to a} u(x) = b\) et \(\lim_{y \to b} f(y) = L\), alors \(\lim_{x \to a} f(u(x)) = L\).

7. Limites usuelles à connaître

Fonction Limite en 0 Limite en \(+\infty\) Limite en \(-\infty\)
\(\dfrac{1}{x}\:\) \(\pm\infty\) 0 0
\(e^x\) 1 \(+\infty\) 0
\(\ln(x)\) \(-\infty\) \(+\infty\) non défini
\(\sin(x)\) 0 n'existe pas n'existe pas
\(\cos(x)\) 1 n'existe pas n'existe pas
\(\arctan(x)\) 0 \(\frac{\pi}{2}\) \(-\dfrac{\pi}{2}\:\)

📚 Définitions

II/ Limites

II.1 / Limite finie

II.1.a/ Limite finie en un point

Une fonction \(f\) admet une limite finie \(L\) en \(a\) si : \(\boxed{ \lim_{x \to a} f(x) = L}\)

Exemple :

  1. \(\lim_{x \to 2} (2x + 1) = 5\)
  2. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)
  3. \(\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 6\)
II.1.b/ Limite finie en l'infini

Une fonction \(f\) admet une limite finie \(L\) en \(+\infty\) ou \(-\infty\) si : \(\boxed{ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L}\)

Exemples :

  1. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\)
  2. \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0\)
  3. \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)
  4. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x+1}{x} = 2\)

II.2/ Limite infinie

II.2.a/ Limite infinie en l'infini

Une fonction \(f\) admet une limite infinie \(\infty\) en \(\infty\) si : \(\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}\)

Exemples :

  1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\)
  2. \(\lim_{x \to +\infty} -x^3 = -\infty\)

II.2.b/ Limite infinie en un point

Une fonction \(f\) admet une limite finie \(L\) en \(\infty\) si : \(\boxed{\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty}\)

Exemple :

  1. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty\)

III/ Asymptotes

II.1/ Asymptote verticale

Condition : \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty\) ou \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty\)
Équation : \(x = a\)
Remarque : L'asymptote verticale existe si au moins une des limites unilatérales est infinie

Exemple 1 : \(f(x) = \dfrac{1}{x-3}\:\)

  • Domaine de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) ou \(]-\infty, 3[ \cup ]3, +\infty[\)
  • Limites unilatérales :
    • \(\lim_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x-3} = +\infty\)
    • \(\lim_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x-3} = -\infty\)
  • Asymptote : \(x = 3\) (asymptote verticale)

Exemple 2 : \(f(x) = \dfrac{1}{(x-2)^2}\:\)

  • Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\:\)
  • Limites : \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty\)
  • Asymptote : \(x = 2\) (des deux côtés)

III.2/ Asymptote horizontale

Condition : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) ou \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\)
Équation : \(y = L\)
Remarque : Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales différentes en \(+\infty\) et \(-\infty\)

Exemple 1 : \(f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}\:\)

  • Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\:\)
  • Limites à l'infini :
    • \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x-1}{x+2} = 3\)
    • \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-1}{x+2} = 3\)
  • Asymptote : \(y = 3\) (même asymptote des deux côtés)

Exemple 3 : \(f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\)

  • Domaine : \(\mathbb{R}\:\)
  • Limites :
    • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\)
    • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2\)
  • Asymptotes :
    • \(y = 2\) en \(+\infty\)
    • \(y = -2\) en \(-\infty\)

III.3/ Asymptote oblique

Condition : \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Équation : \(y = ax + b\)
Calcul :

  • \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\:\)
  • \(b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]\)
    Remarque : Peut exister seulement d'un côté ou des deux côtés

Exemple 1 : \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\:\)

  • Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\:\)
  • Asymptote oblique en \(\pm\infty\) :
    • \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\dfrac{x^2+1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^2+1}{x^2} = 1\)
    • \(b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\dfrac{x^2+1}{x} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0\)
    • Asymptote : \(y = x\)
  • Asymptote verticale : \(x = 0\) (car \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\))

Exemple 2 : \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x}\:\)

  • Domaine : \(\sqrt{x^2 + 2x}\) existe si \(x^2 + 2x \geq 0\)
    • \(x(x+2) \geq 0\) ⇒ \(x \leq -2\) ou \(x \geq 0\)
    • Domaine : \(]-\infty, -2] \cup [0, +\infty[\)
  • Asymptote en \(+\infty\) :
    • \(a = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{2}{x}} = 1\)
    • \(b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = 1\)
    • Asymptote : \(y = x + 1\)
  • Pas d'asymptote en \(-\infty\) car le domaine est limité à \(]-\infty, -2]\)

Exemple 3 : \(f(x) = x + \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) pour \(x \neq 0\)

  • Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\:\)
  • Asymptote en \(\pm\infty\) :
    • \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x + \sin(1/x)}{x} = 1\)
    • \(b = \lim_{x \to \pm\infty} \left[x + \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) - x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\)
    • Asymptote : \(y = x\)

III.4/ 🔍 Méthode pour étudier les asymptotes

a) Étape 1 : Déterminer le domaine de définition
  • Exclure les points où la fonction n'est pas définie
  • Ces points sont candidats pour des asymptotes verticales
b) Étape 2 : Étudier les limites aux bords du domaine

Aux points exclus :

  • Calculer \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to a^-} f(x)\)
  • Si une limite est infinie : asymptote verticale \(x = a\)

Aux infinis :

  • Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\)
  • Si limite finie \(L\) : asymptote horizontale \(y = L\)
c) Étape 3 : Rechercher les asymptotes obliques

Si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\), calculer :

  1. \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\:\)
  2. Si \(a\) est fini et non nul, calculer \(b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]\)
  3. Si \(b\) est fini : asymptote oblique \(y = ax + b\)
d) Étape 4 : Interprétation graphique
  • Asymptote verticale : La courbe s'approche de plus en plus de la droite sans la toucher
  • Asymptote horizontale/oblique : La courbe se rapproche de la droite quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\)

III.5/ ⚠️ Points importants

  1. Une fonction peut avoir plusieurs asymptotes (ex: verticale + oblique)
  2. Les limites à droite et à gauche peuvent être différentes en un point
  3. Le domaine conditionne l'existence des limites
  4. Vérifier toujours les deux infinis (\(+\infty\) et \(-\infty\))
  5. Une asymptote n'est pas toujours symétrique des deux côtés

⚠️ Formes Indéterminées

Forme Exemple Stratégie
\(\infty - \infty\) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - x)\) Factorisation
\(0 \times \infty\) \(\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x)\) Transformer en \(\dfrac{0}{0}\) ou \(\dfrac{\infty}{\infty}\)
\(\dfrac{\infty}{\infty}\) \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2+1}{2x^2-5}\) Factoriser terme dominant
\(\dfrac{0}{0}\) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}\) Factorisation, quantité conjuguée
\(1^\infty\) \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x\) Utiliser : \(e^{\lim \ln(f(x))}\)
\(\infty^0\) \(\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}\) Passer au logarithme
\(0^0\) \(\lim_{x \to 0^+} x^x\) Passer au logarithme

🛠️ Techniques de Calcul

1. Factorisation

Éliminer les facteurs communs pour lever l'indétermination.

Exemple :
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\)

2. Quantité conjuguée

Pour les expressions avec racines :
\(\sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)

Exemple :
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}\)

3. Règle de l'Hospital

Si \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) est de forme \(\dfrac{0}{0}\) ou \(\dfrac{\infty}{\infty}\) :
\(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\:\)

4. Changement de variable

Simplifier l'expression en posant \(t = g(x)\).

📝 Exemples Classiques

Limites trigonométriques

\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2} = \dfrac{1}{2}\)

Limites exponentielles

\(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e\)
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\)

Limites logarithmiques

\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1\)

Comparaison croissance

Pour \(n > 0\) et \(a > 1\) :
\(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{a^x} = 0\)
\(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0\)

🔍 Méthodologie de Résolution

  1. Identifier le type de limite (finie, infinie, à l'infini)
  2. Vérifier la présence d'asymptotes
  3. Détecter les formes indéterminées
  4. Choisir la technique appropriée
  5. Calculer et interpréter le résultat

📊 Tableau Récapitulatif

Situation Forme Méthode
Polynômes en ±∞ \(\dfrac{\infty}{\infty}\) Terme de plus haut degré
Fractions rationnelles \(\dfrac{0}{0}\) Factorisation
Racines carrées \(\infty - \infty\) Quantité conjuguée
Exponentielles \(1^\infty\) Formule \(e^{\ln()}\)
Produit \(0 \times \infty\) Indéterminée Transformer en quotient

💡 Conseils Pratiques

  1. Toujours vérifier le domaine de définition
  2. Étudier séparément les limites à gauche et à droite
  3. Simplifier au maximum avant de calculer
  4. Vérifier les formes indéterminées
  5. Interpréter graphiquement les résultats

📎 Exercices Types

  1. Calculer \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}\)
  2. Déterminer les asymptotes de \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x}\)
  3. Calculer \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}\)
  4. Trouver \(\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x\)

Résumé créé pour le cours de calcul différentiel

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