Exercice 1 :
- Limite d'une somme, d'une différence - forme indéterminée - asymptote
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x) + g(x)\) et de \(f(x) − g(x)\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = +\infty\)
b)
\(\lim_{x→-3} f(x) = +\infty\)
\(\lim_{x→-3} g(x) = -\infty\)
c)
\(\lim_{x→-\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x→-\infty} g(x) = -\infty\)
d)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = -4\)
Exercice 2 :
- Limite d'un produit, d'un quotient - forme indéterminée - asymptote
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x) × g(x)\) et de \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a)
\(\lim_{x→0} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x→0} g(x) = +\infty\)
b)
\(\lim_{x→-\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x→-\infty} g(x) = -3\)
c)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = 3\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = -\infty\)
d)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = 0\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = -\infty\)
Exercice 3 :
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\) et le signe de \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x) × g(x)\) et de \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = 0\)
\(g(x) > 0\)
b)
\(\lim_{x→-\infty} f(x) = -4\)
\(\lim_{x→-\infty} g(x) = 0\)
\(g(x) < 0\)
c)
\(\lim_{x→+\infty} f(x) = 0\)
\(\lim_{x→+\infty} g(x) = 0\)
\(g(x) > 0\)
Exercice 4 :
- Limite d'une fonction - forme indéterminée - asymptote
Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement :
a) \(\lim_{x→-\infty} 2x^3 − 5x^2 + 1\)
b) \(\lim_{x→+\infty} 2x^3 − 5x^2 + 1\)
Exercice 5 :
Déterminer les limites suivantes et indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales :
a) \(\lim_{x→+\infty} \dfrac{2}{1 − x}\:\)
b) \(\lim_{x→-\infty} \dfrac{x^3 + x − 1}{2x^2 + x}\:\)
c) \(\lim_{x→+\infty} (2x − 3) × \dfrac{1}{x + 1}\:\)
Exercice 6:
Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes:
a) \(\lim_{\substack{x→2 \\ x<2}} \dfrac{1-3x}{2-x}\:\)
b) \(\lim_{\substack{x→2 \\ x>2}} \dfrac{1-3x}{2-x}\:\)
Exercice 7:
Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \(\lim_{\substack{x→0 \\ x<0}} 4 + \dfrac{1}{x} − \dfrac{2}{x^2}\:\)
b) \(\lim_{\substack{x→0 \\ x>0}} 4 + \dfrac{1}{x} − \dfrac{2}{x^2}\:\)
c) \(\lim_{x→+\infty} 4 + \dfrac{1}{x} − \dfrac{2}{x^2}\:\)
Exercice 8:
Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite - forme indéterminée
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \(\lim_{\substack{x→1 \\ x>1}} \dfrac{2x + 5}{1 − x}\:\)
b) \(\lim_{\substack{x→1 \\ x<1}} \dfrac{2x + 5}{1 − x}\:\)
c) \(\lim_{x→-\infty} \dfrac{2x + 5}{1 − x}\:\)
Exercice 9 :
Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes:
a) \(\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}} \dfrac{x+3}{x^2-1}\:\)
b) \(\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}} \dfrac{x+3}{x^2-1}\:\)
Exercice 10 :
Déterminer la limite d'une fonction en \(a\) - limite à gauche et à droite
Déterminer les limites suivantes, en distinguant si besoin, la limite à gauche et à droite.
Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales.
a) \(\lim_{\substack{x \to 2}} \dfrac1{(x-2)^2}\:\)
b) \(\lim_{\substack{x \to 2}} \dfrac1{x-2}\:\)
c) \(\lim_{\substack{x \to 1}} \dfrac{x}{x^2-1}\:\)
d) \(\lim_{\substack{x \to -\infty}} \dfrac{x}{x^2-1}\:\)
Exercice 11 :
limite d'une fonction - limite d'une composée
Déterminer les limites suivantes:
a) \(\lim_{x \to -\infty} \cos \left(\dfrac 1x\right)\)
b) \(\lim_{\substack{x \to +\infty}} \sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}\)
c) \(\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} \sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}\)
Exercice 12 :
limite de fonction dans le cas \(\dfrac{0}{0}\) - Utiliser la dérivation
Déterminer les limites suivantes:
\(\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt x -1}{x-1}\:\)
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\:\)
\(\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3-5x-4}{x+1}\:\)
💡 Indication
1) Faire apparaitre: \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) en précisant \(f\)
2) Conclure en utilisant la propriété:
Si \(f\) est dérivable en \(a\) alors \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\)
Exercice 13 :
Exemple de fonction n'ayant pas de limite
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos(x)\).
1) Démontrer qu'on ne peut avoir \(\lim_{x→+\infty} f(x) = +\infty\), ni \(\lim_{x→+\infty} f(x) = -\infty\).
2) Calculer \(f(2πn)\) et \(f(2πn + π)\) où \(n\) est un entier naturel.
3) En déduire que \(f\) n'a pas de limite finie en \(+\infty\).
4) Que peut-on conclure ?
5) Comment adapter cette méthode, pour montrer que la fonction sinus n'a pas de limite.
Exercice 14 :
Limite d'une fonction décroissante
On considère une fonction \(f\) définie et décroissante sur \(\mathbb{R}\).
On sait de plus \(\lim_{x → +\infty} f(x) = 1\).
1) Quelle conjecture peut-on faire sur \(f\) ?
2) Démontrer cette conjecture.
Exercice 15 :
Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - sinus - cosinus - Théorème des gendarmes
Déterminer les limites suivantes :
1) \(\lim_{x → +\infty} x + \cos(x)\)
2) \(\lim_{x → +\infty} \dfrac{3x-1}{x-2 \sin(x)}\:\)
3) \(\lim_{x → -\infty} \dfrac{\sin(x)}{x + \cos(x)}\:\)
Exercice 16 :
Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - sinus - cosinus - Théorème des gendarmes
Déterminer les limites suivantes:
\(\lim_{\substack{x \to +\infty}} \dfrac{\sin 2x}{x}\:\)
\(\lim_{\substack{x \to 0}} \dfrac{\sin 2x}{x}\:\)
\(\lim_{\substack{x \to 0}} \dfrac{x+\sin(x)}{x}\:\)
\(\lim_{\substack{x \to +\infty}} \dfrac{x+\sin(x)}{x}\:\)
Exercice 17 :
Théorème de comparaison et des gendarmes pour trouver la limite d'une fonction
Dans chaque cas, on considère une fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty]\) vérifiant une condition donnée.
Déterminer, si possible, la limite de \(f\) en \(+\infty\) et en \(0\) :
1) Pour tout \(x > 0\), \(f(x) ≥ \dfrac{1}{x}\).
2) Pour tout \(x ≥ 1\), \(\dfrac{x-1}{x+1} ≤ f(x) ≤ \frac{1}{x} + 1\).
3) Pour tout \(x > 0\), \(|6 - 2f(x)| ≤ \dfrac{1}{x}\).
Exercice 18:
Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - \(...≤ f(x) ≤ ...\) - théorème des gendarmes
1) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty]\) telle que \(f(x) ≤ \dfrac{1}{x}\)
a) Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} f(x)\).
Justifier votre réponse.
b) Déterminer si possible \(\lim_{x → 0} f(x)\).
Justifier votre réponse.
2) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty]\) telle que \(f(x) ≥ \dfrac{1}{x}\)
a) Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} f(x)\).
Justifier votre réponse.
b) Déterminer si possible \(\lim_{x → 0} f(x)\).
Justifier votre réponse.
3) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty]\) telle que pour \(x ≥ 1\), \(\dfrac{1}{x^2} ≤ f(x) ≤ \dfrac{1}{x}\)
a) Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} f(x)\).
Justifier votre réponse.
b) Déterminer si possible \(\lim_{x → 0} f(x)\).
Justifier votre réponse.
4) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty]\) telle que pour \(x ≥ 1\), \(1 - \dfrac{1}{x} ≤ 2f(x) - 5 ≤ 1 + \dfrac{1}{x^2}\)
Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} f(x)\).
Justifier votre réponse.
5) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty]\) telle que pour \(x ≥ 0\), \(0 ≤ f(x) ≤ \sqrt{x}\)
a) Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} f(x)\).
Justifier votre réponse.
b) Déterminer si possible \(\lim_{x → 0} f(x)\).
Justifier votre réponse.
c) Déterminer si possible \(\lim_{x → +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\).
Justifier votre réponse.
Exercice 19 :
Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - \(... ≤ |f(x)-l| ≤ ...\)
On considère une fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty]\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{2x^2}\:\)
1°) A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite \(ℓ\) de \(f\) en \(+\infty\).
2°) Démontrer que pour \(x ≥ 1\), \(|f(x) - ℓ| ≤ \dfrac{1}{2x}\)
3°) En déduire \(\lim_{x → +\infty} f(x)\)
4°) Retrouver la limite de \(f\) en \(+\infty\) sans utiliser d'encadrement.
Exercice 20 :
- Limite et opération
\(C_1, C_2, C_3\) sont les courbes respectives de 3 fonctions \(f, g\) et \(h\) définies sur \(\mathbb{R}\).
111
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222
1) Déterminer graphiquement les limites de \(f, g\) et \(h\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
2) En déduire, si possible, les limites suivantes :
a) \(\lim_{x → +\infty} f(x) + g(x)\)
b) \(\lim_{x → -\infty} g(x) × h(x)\)
c) \(\lim_{x → -\infty} f(x) × h(x)\)
d) \(\lim_{x → -\infty} g(x) + h(x)\)
e) \(\lim_{x → -\infty} h(x) - g(x)\)
f) \(\lim_{x → +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)
g) \(\lim_{x → -\infty} \dfrac{h(x)}{g(x)}\)
h) \(\lim_{x → -\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)
i) \(\lim_{x → -\infty} f(g(x))\)
Exercice 21:
- Limite et tableau de variations de \(-f\), \(\frac{1}{f}\) et \(|f|\)
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{-3\}\).
1) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
\(\quad\)
Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
2) Déterminer le tableau de variations des fonctions \(-f\), \(\dfrac{1}{f}\) et \(|f|\).
\(\quad\)
Préciser dans chaque cas, les limites aux bornes du domaine de définition.
Exercice 22 :
- Déterminer une fonction connaissant le tableau de variations et les limites
On connait le tableau de variations d'une fonction \(f\).
On sait de plus qu'il existe trois réels \(a, b, c\) tels que pour tout \(x ≠ -3\), \(f(x) = \dfrac{ax+b}{x+c}\).
Déterminer les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\) en justifiant.
Exercice 23 :
- Étude complète d'une fonction - Déterminer \(a, b, c\) ...
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{2\}\) par \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x - 3}{x - 2}\).
1) Déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout \(x ≠ 2\), \(f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 2}\).
2) En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
3) Refaire le 2°) sans utiliser le 1°.
4) Déterminer \(\lim_{x → 2^-} f(x)\) et \(\lim_{x → 2^+} f(x)\)
Déterminer \(f'(x)\).
5) Dresser le tableau de variation de \(f\)
Préciser dans ce tableau les limites aux bornes du domaine de définition.
Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
6) Déterminer \(\lim_{x → +\infty} f(x) - (ax + b)\)
Quelle interprétation graphique peut-on en déduire ?
Vérifier cette interprétation à l'aide de la calculatrice.
Exercice 24 :
- Limite et racine - expression conjuguée
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x - \sqrt{x^2 + 5}\).
1) Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
2) Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
\(\quad\)
On pourra utiliser l'expression conjuguée.
L'expression conjuguée de : \(a - \sqrt{b}\) est \(a + \sqrt{b}\:\)
\(\quad\)
Méthode :
a) Multiplier et diviser par l'expression conjuguée
b) Développer, arranger
c) Chercher la limite
Exercice 25 :
- Déterminer une fonction connaissant les limites
Dans chaque cas, déterminer une fonction \(f\) vérifiant les conditions suivantes :
a) \(\lim_{x → 1^-} f(x) = -\infty\) \(\quad\) et\(\quad\) \(\lim_{x → 1^+} f(x) = +\infty\) \(\quad\)et\(\quad\) \(\lim_{x → +\infty} f(x) = 0\)
b) \(\lim_{x → 1^+} f(x) = +\infty\) \(\quad\)et\(\quad\) \(\lim_{x → 1^+} f(x) = -\infty\) \(\quad\) et \(\quad\)\(\lim_{x → +\infty} f(x) = 2\)
c) \(\lim_{x → 3^-} f(x) = +\infty\) \(\quad\) et\(\quad\) \(\lim_{x → +\infty} f(x) = 2\)
